（答）１９


Ｘ＾ｎが「Ｘのｎ乗」を表すとします。
Ｘ＾２−Ｙ＾２＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ＋Ｙ）
Ｘ＾３−Ｙ＾３＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ＾２＋ＸＹ＋Ｙ＾２）
Ｘ＾４−Ｙ＾４＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ＾３＋Ｘ＾２×Ｙ＋Ｘ×Ｙ＾２＋Ｙ＾３）
・・・
Ｘ＾ｎ−Ｙ＾ｎ＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ＾（ｎ−１）＋Ｘ＾（ｎ−２）Ｙ＋Ｘ＾（ｎ−３）


Ｙ＾２＋・・・＋Ｘ＾２×Ｙ＾（ｎ−３）＋Ｘ×Ｙ＾（ｎ−２）＋Ｙ＾（ｎ−３））


とＸ＾ｎ−Ｙ＾ｎは（Ｘ−Ｙ）を含む式に展開できます。
Ｘ−Ｙを含まない右側の式はべき乗と加算記号しか出てきませんのでＸとＹが整数 だということから必ず２整数になります。
Ｘ−Ｙも整数です。


１９は素数なので、整数×整数で１９になる組み合わせは、
１９×１
１×１９
−１×−１９
−１９×−１
に限られます。
もし、Ｘ−Ｙ＝１９になるようなＸとＹとが見つかれば、それがＸ−Ｙの最大値、と いうことになりますが、
Ｘ＝１０、Ｙ＝−９、ｎ＝２とすれば
Ｘ−Ｙ＝１０−（−９）＝１９
Ｘ＾ｎ−Ｙ＾ｎ＝１０＾２−（−９）＾２＝１００−８１＝１９
なので、Ｘ−Ｙ＝１９が取りうる最大値であることがわかります。


（前の答を切り貼りして楽しました。）

北村さんからは間違った問題での解答もいただきました。というかそれで間違いに気づいたのですが...

　左辺を因数分解すると、


　　Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ^ｎ-1＋Ｘ^ｎ-2Ｙ＋Ｘ^ｎ-3Ｙ²＋…Ｙ^ｎ-1）


　Ｘ、Ｙ、ｎは整数なので、各因数も整数。１９は素数なので、因数の一方は１、もう一方は１９です。
　−１と−１９という組合せも考えられますが、最大値を考えているので、プラスだけ考えればよい。
（ちょっと不正確な言い方ですが、正確に言おうとすると煩わしいので）


　一番簡単そうな、ｎ＝２の場合を考えてみます。
　Ｘ−Ｙ＝１９と仮定すると、Ｘ＋Ｙ＝１。したがって、Ｘ＝１０、Ｙ＝−９。これは問題の条件を満たしています。
　これより大きな値は無いので、これが最大値です。
　と、「とっても簡単に解けてしまい」ました。
　そこで挑戦：Ｘ、Ｙが自然数という条件では？。
　ｎ＝２の場合、Ｘ−Ｙ＝１９では不可。
　Ｘ−Ｙ＝１なら、Ｘ＋Ｙ＝１９。したがって、Ｘ＝１０、Ｙ＝９。これは可。
　しかし、ｎ＞３で、Ｘ−Ｙ＝１９があるかもしれない。
　その場合、第２因数（Ｘ^ｎ-1＋Ｘ^ｎ-2Ｙ＋Ｘ^ｎ-3Ｙ²＋…Ｙ^ｎ-1）は１になる。
　第２因数は、項数がｎ個あり、いずれの項も正なので、ｎ以上になる。１にはならない。
　というわけで、Ｘ−Ｙの最大値は１です。


　やはり簡単に解けてしまったので、さらに挑戦。
　「自然数」は、０から始まるものとする考えがあるので、Ｙ＝０を許したら？。
　Ｙ＝０とすると、Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝１９なので、Ｘ^ｎ＝１９。
　これで、ｎは２以上、Ｘは自然数ということは、ありえない。
　したがって、Ｙ≠０。これは、「自然数」にゼロを含めないとするのと同じことになる。


　それでは、「Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝２００７」だとどうなるでしょう。
　２００７＝３²×２２３なので、かなりややこしいですね。幾何以外でややこしいのは、パスします。


　問題１９については、以上のことしか考えませんでした。
　懸賞１７に関連しては、正三角形への点の配置について書いてしまったので、まだそのことでいろいろと遊んでいます。やはり、懸賞１７の関連問題 では、あと千年くらいは遊べそうです。


第２信


　先のメールで、


>　それでは、「Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝２００７」だとどうなるでしょう。
>　２００７＝３²×２２３なので、かなりややこしいですね。幾何以外でややこしいのは、パスします。


と書きましたが、難しく考えていました。
　問題を「右辺が奇数」とすると、素数でなくても同様の結論になることに気づきました。



> Ｘ、Ｙ、Ｚ、ｎは Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝２Ｚ＋１ を満たす整数です。ただしＺは正、ｎは２以上とします。
> Ｚを固定したとき、Ｘ−Ｙの最大値は？


　ｎ＝２、Ｘ＝Ｚ＋１、Ｙ＝−Ｚとすると、条件を満たし、Ｘ−Ｙ＝２Ｚ＋１となります。


　　Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ^ｎ-1＋Ｘ^ｎ-2Ｙ＋Ｘ^ｎ-3Ｙ²＋…Ｙ^ｎ-1）


ですが、Ｘ、Ｙ、ｎは整数なので、各因数も整数。したがって、第１因数「Ｘ−Ｙ」は、２Ｚ＋１の約数です。
　２Ｚ＋１の約数の最大のものは２Ｚ＋１自身ですから、Ｘ−Ｙは２Ｚ＋１を超えることは無い。
　したがって、Ｘ−Ｙの最大値は、２Ｚ＋１です。
　特に、「Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝２００７」の場合、Ｘ−Ｙの最大値は２００７です。

　「整数」でなく「自然数」とすると、「Ｙ＝−Ｚ」にできないので、ややこしくなります。たぶん、２００７の場合、６６９です。
こっちの方が、面白かったのではないでしょうか。
　また、右辺を奇数でなく偶数とすると、もっとややこしくなります。
　でも、もしかしたら、案外簡単なのかもしれませんが。


第３信


　先のメールで、


>　それでは、「Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝２００７」だとどうなるでしょう。
（中略）
>　「整数」でなく「自然数」とすると、「Ｙ＝−Ｚ」にできないので、ややこしくなります。たぶん、２００７
>の場合、６６９です。こっちの方が、面白かったのではないでしょうか。


と書きましたが、これは間違っていました。


　　Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝（Ｘ−Ｙ）（Ｘ^ｎ-1＋Ｘ^ｎ-2Ｙ＋Ｘ^ｎ-3Ｙ²＋…Ｙ^ｎ-1）


ですが、「自然数」とすると、Ｘ、Ｙ≧０、ｎ≧２なので、


　　Ｘ−Ｙ ≦ Ｘ ≦ Ｘ^ｎ-1 ≦ Ｘ^ｎ-1＋Ｘ^ｎ-2Ｙ＋Ｘ^ｎ-3Ｙ²＋…Ｙ^ｎ-1


です。第１因数は、第２因数を超えることはありません。ですから、Ｘ−Ｙは、高々９です。
　実際、Ｘ＝１１６、Ｙ＝１０７、ｎ＝２は条件を満たすので、Ｘ−Ｙの最大値は９です。


　一般的に、「Ｘ^ｎ−Ｙ^ｎ＝奇数」の場合は、この奇数の平方根を超えない最大の約数が、Ｘ−Ｙの最大値となります。
　また、右辺を奇数でなく偶数とすると、やはりややこしいです。

研究ありがとうございます。
実は以前、別の方向で同じような問題を出したことがあるんです。結構奥深い？ですよ。
今はなつかしいパソコン通信の掲示板への投稿記事を再掲して置きます。

  Ｘ＾ＮーＹ＾Ｎ＝１９９９を満たす自然数Ｘ、Ｙ、Ｎは？
  ただしＮは２以上

【答】

　　　　　　　　２　　　　２
　　　　１０００　−９９９　＝１９９９

【答までの道のり】

自然数は無限にあるので、何の準備もなしではしらみつぶしもでき
ません。なんとか調べる範囲をしぼり込む必要があります。
まず分かるのは、当たり前ですが Y < X、つまりY <= X-1。
よって、X^N-Y^N >= X^N-(X-1)^N です。
次に、X^N-(X-1)^N >= X^2-(X-1)^2、
および、X^N-(X-1)^N >= 2^N -(2-1)^N です。
つまり、1999 >= 2X-1、1999 >= 2^N-1。
以上を整理して、
  X <= 1000、Y <= X-1、N <= 10
というふうに各自然数の範囲（上限）が決められました。
あとは UBASIC の力技で答が出せますが、

   10   for N=2 to 10
   20   for X=2 to 1000
   30   for Y=1 to X-1
   40   if X^N-Y^N=1999 then print X;"^";N;"-";Y;"^";N;"=";1999
   50   next Y
   60   next X
   70   next N

さすがにこんなプログラムでは、瞬時に答を出すというわけにはい
きません。以下のように少しは工夫可能ですが、

   10   for N=2 to 10
   20   X=2
   30   Y=X-1
   40   Z=X^N-Y^N
   50   if Z>1999 then goto 90
   60   if Z=1999 then print X;"^";N;"-";Y;"^";N;"=";1999
   70   Y=Y-1
   80   if Y>=1 then goto 40
   90   if Y=X-1 then goto 120
  100   X=X+1
  110   goto 30
  120   next N

goto 文が乱用してあって、我ながらへたくそなプログラムだ思い
ます。バグも心配だし。

もう少し手抜きをしたいものです。
問題の左辺は次のように因数分解できます。
  (X-Y)(X^(N-1)+...+Y^(N-1))=1999
したがって X-Y は 1999 の約数ということになりますが、1999 は
素数なので、X-Y=1 となります。つまり X=Y+1。
(あきらかに X-Y=1999 とはならない)
あとは紙と鉛筆だけでも簡単に調べあげることができるでしょう。

さらにさらに。
池田さんの、N が偶数なら問題の左辺は X+Y も因数に持つという指
摘は、もっと一般的に N が M 倍数なら問題の左辺は X^(M-1)+...+Y^(M-1)
を因数に持つというふうに言えます。1999が素数であることを考え
あわせると、そういう事態は好ましくないので、N は素数というこ
とになります。
さらに、Y は 1998の約数という ICHI さんの指摘は、(Y+1)^N-Y^N-1
を展開することによって得られる（次式）わけですが、
  (Y+1)^N-Y^N-1=N*Y^(N-1)+...+N*Y=1999-1=1998=2*3*3*3*37
この式もなかなか使えます。まんなかの N*Y^(N-1)+...+N*Y ですが、
N が素数だと Y^? の係数はすべて N の倍数です。つまり、この式自
体が N の倍数となっているわけで、以上を総合すると N の可能性と
しては、2 と 3 しかなくなってしまいます。
ここまでくれば調べ上げるまでもなく、単なる１次方程式と２次方
程式になります。

問題19の解答は「19」です。
X^n - Y^n を因数分解すると X-Y が出てくるので、 19が素数であることから、X-Yは-19,-1,1,19 のどれか。
n=2,X=10,Y=-9 のとき X-Y=19 となります。


ありうる組み合わせは次のものですべてだと思います。
n=2, X=10,-10, Y=9,-9
n=3, X=3, Y=2
n=3, X=-2, Y=-3

そうですね。これで全てです。
実はこの答えを眺めていて、Ｘ−Ｙが１９になるものがあるじゃん！　とぬか喜びして問題１９にしてしまったんですねぇ。